Download Classnotes & DPPs Physics cure app from playstore : https://play.google.com/store/apps/de...

for Web Version : https://physickscure.ingeniumedu.com/

#class11physics
#class 11 physics
#rotation in bengali
#physicks
#moment of inertia in bengali
#জড়তা ভ্রামক


"যেকোনো অক্ষের সাপেক্ষে কোনো বস্তুর জড়তার ভ্রামক হবে ঐ অক্ষের সমান্তরাল ও বস্তুর ভরকেন্দ্রের মধ্য দিয়ে গমনকারী অক্ষের সাপেক্ষে জড়তার ভ্রাক এবং ঐ বস্তুর ভর ও দুই অক্ষের মধ্যবর্তী লম্ব দুরত্বের বর্গের গুনফলের সমষ্টির সমান।" উক্ত বিবৃতিটি সমান্তরাল অক্ষ উপপাদ্যকে সংজ্ঞায়িত করে। এই উপপাদ্য, যা হুইজেনস-স্টেইনার উপপাদ্য হিসাবেও পরিচিত, বা শুধু স্টেইনারের উপপাদ্য, যা ক্রিশ্চিয়ান হুইজেনস এবং স্টেইনারের নামানুসারে নামকরণ করা হয়েছে, কোনো অক্ষের দৃঢ় বস্তুর জড়তার ভ্রামক বা ক্ষেত্র ভ্রামক নির্ণয় করতে ব্যবহার করা হয় এবং ভরকেন্দ্রের মাধ্যমে এবং অক্ষগুলোর মধ্যে লম্ব দূরত্বের মধ্য দিয়ে সমান্তরাল অক্ষ সম্পর্কে বস্তুর জড়তার ভ্রামক নির্ণয় করতে ব্যবহার করা হয়।সংজ্ঞা অনুযায়ী, কণাটির জড়তার ভ্রামক, {\displaystyle
ধরা যাক, ঘূর্ণনরত বস্তুটির মোট ভর = M; কল্পনা করা যাক, বস্তুটির সমস্ত ভর একটি বিন্দুতে কেন্দ্রীভূত আছে। ঘূর্ণন অক্ষ হতে ঐ বিন্দুর দূরত্ব K । K এর মান এমন যাতে,{\displaystyle MK^{2}=\sum mr^{2}=I}{\displaystyle MK^{2}=\sum mr^{2}=I} । কাল্পনিক এ দূরত্বকে চক্রগতির ব্যাসার্ধ বলা হয়।

কোন দৃঢ় বস্তুর সমগ্র ভর যদি একটি নির্দিষ্ট বিন্দুতে কেন্দ্রীভূত করা যায় যাতে করে একটি নির্দিষ্ট অক্ষের সাপেক্ষে ঐ কেন্দ্রীভূত বস্তুকণার জড়তার ভ্রামক, ঐ নির্দিষ্ট অক্ষের সাপেক্ষে সমগ্র দৃঢ় ঐ বস্তুর জড়তার ভ্রামকের সমান হয়, তাহলে ঐ নির্দিষ্ট অক্ষ থেকে কেন্দ্রীভূত বস্তুকণার লম্ব দূরত্বকে চক্ৰগতির ব্যাসার্ধ বলে।

তাৎপর্যঃকোন অক্ষের সাপেক্ষে কোন বস্তুর জড়তার ভ্রামক {\displaystyle 50kgm^{2}}{\displaystyle 50kgm^{2}}বলতে বােঝায় ঐ বস্তুর

প্রত্যেকটি কণার ভর এবং ঐ অক্ষ থেকে তাদের প্রত্যেকের লম্ব দূরত্বের বর্গের গুণফলের সমষ্টি {\displaystyle 50kgm^{2}}{\displaystyle 50kgm^{2}}।

জড়তার ভ্রামক সংক্রান্ত দুটি উপপাদ্যের সাহায্যে কোন বস্তুর কোন একটি বিশেষ অক্ষের সাপেক্ষে জড়তার ভ্রামকের মান বের করা যায়। উপপাদ্য দুটি হল – (ক) লম্ব অক্ষ উপপাদ্য এবং (খ) সমান্তরাল অক্ষ উপপাদ্য।

(ক) লম্ব অক্ষ উপপাদ্য (Perpendicular axis Theorem)

বিবৃতিঃ কোন সমতল পাতের তলে অবস্থিত দুটি পরস্পর লম্ব অক্ষের সাপেক্ষে ঐ পাতের জড়তার ভ্রামকদ্বয়ের সমষ্টি হবে ঐ দূই অক্ষের ছেদবিন্দু দিয়ে এবং পাতের অভিলম্বভাবে গমনকারী অক্ষের সাপেক্ষে পাতটির জড়তার ভ্রামকের সমান।


ধরা যাক, ঘূর্ণনরত বস্তুটির মোট ভর = M; কল্পনা করা যাক, বস্তুটির সমস্ত ভর একটি বিন্দুতে কেন্দ্রীভূত আছে। ঘূর্ণন অক্ষ হতে ঐ বিন্দুর দূরত্ব K । K এর মান এমন যাতে,{\displaystyle MK^{2}=\sum mr^{2}=I}{\displaystyle MK^{2}=\sum mr^{2}=I} । কাল্পনিক এ দূরত্বকে চক্রগতির ব্যাসার্ধ বলা হয়।

কোন দৃঢ় বস্তুর সমগ্র ভর যদি একটি নির্দিষ্ট বিন্দুতে কেন্দ্রীভূত করা যায় যাতে করে একটি নির্দিষ্ট অক্ষের সাপেক্ষে ঐ কেন্দ্রীভূত বস্তুকণার জড়তার ভ্রামক, ঐ নির্দিষ্ট অক্ষের সাপেক্ষে সমগ্র দৃঢ় ঐ বস্তুর জড়তার ভ্রামকের সমান হয়, তাহলে ঐ নির্দিষ্ট অক্ষ থেকে কেন্দ্রীভূত বস্তুকণার লম্ব দূরত্বকে চক্ৰগতির ব্যাসার্ধ বলে।

তাৎপ

জড়তার ভ্রামক সংক্রান্ত দুটি উপপাদ্যের সাহায্যে কোন বস্তুর কোন একটি বিশেষ অক্ষের সাপেক্ষে জড়তার ভ্রামকের মান বের করা যায়। উপপাদ্য দুটি হল – (ক) লম্ব অক্ষ উপপাদ্য এবং (খ) সমান্তরাল অক্ষ উপপাদ্য।

(ক) লম্ব অক্ষ উপপাদ্য (Perpendicular axis Theorem)

বিবৃতিঃ কোন সমতল পাতের তলে অবস্থিত দুটি পরস্পর লম্ব অক্ষের সাপেক্ষে ঐ পাতের জড়তার ভ্রামকদ্বয়ের সমষ্টি হবে ঐ দূই অক্ষের ছেদবিন্দু দিয়ে এবং পাতের অভিলম্বভাবে গমনকারী অক্ষের সাপেক্ষে পাতটির জড়তার ভ্রামকের সমান।

অর্থাৎ, {\displaystyle I_{z}=I_{x}+I_{y}}একটি কণার ভর ও ঘূর্ণন অক্ষ হতে এর লম্ব দূরত্বের বর্গের গুণফলকে উক্ত কণার জড়তার ভ্রামক বলে। বস্তুর মধ্যস্থিত সবগুলো কণার জড়তার ভ্রামকের সমষ্টিকে উক্ত বস্তুর জড়তার ভ্রামক বলে।

কোন অক্ষের চারদিকে ঘূর্ণায়মান কোন বস্তুর ওপর যে টর্ক প্রয়োগ করলে তাতে একক কৌণিক ত্বরণের সৃষ্টি হয় তাকে ওই অক্ষের সাপেক্ষে তার জড়তার ভ্রামক বলে।

একটা বস্তু সরলেরেখায় চললে ভরের যে ভূমিকা , কৌণিক গতিতে চললে জড়তার ভ্রামকের একই ভূমিকা।

মনেকরি, একটি বস্তু উল্লম্ব অক্ষ এর সাপেক্ষে ঘূর্ণরত।

জড়তার ভ্রামক

উপপাদ্য দুটি হল – (ক) লম্ব অক্ষ উপপাদ্য এবং (খ) সমান্তরাল অক্ষ উপপাদ্য।

(ক) লম্ব অক্ষ উপপাদ্য (Perpendicular axis Theorem)

বিবৃতিঃ কোন সমতল পাতের তলে অবস্থিত দুটি পরস্পর লম্ব অক্ষের সাপেক্ষে ঐ পাতের জড়তার ভ্রামকদ্বয়ের সমষ্টি হবে ঐ দূই অক্ষের ছেদবিন্দু দিয়ে এবং পাতের অভিলম্বভাবে গমনকারী অক্ষের সাপেক্ষে পাতটির জড়তার ভ্রামকের সমান।

অর্থাৎ, {\displaystyle I_{z}=I_{x}+I_{y}}

জড়তার ভর ভ্রামক
ধরা যাক,
m
{\displaystyle m} ভরের একটি বস্তু তার ভরকেন্দ্রের মধ্য দিয়ে
z
{\displaystyle z} অক্ষ বরাবর ঘুরছে। অক্ষ বরাবর বস্তুটির জড়তার ভ্রামক
I
c
m
{\displaystyle I_{cm}}। সমান্তরাল অক্ষ উপপাদ্যটিতে বলা হয়েছে যে, যদি বস্তুটিকে নতুন অক্ষ



কোনো সমান্তরাল অক্ষের সাপেক্ষে ভরকেন্দ্রের মাধ্যমে কোনো অক্ষের সাপেক্ষে একটি বস্তুর জড়তার ভর ভ্রামক নির্নয় করা সম্ভব ।
সমান্তরাল অক্ষ উপপাদ্যটি বিভিন্ন আকারের জড়তার ভ্রামকগুলো নির্ণয় করতে, স্ট্রেচ রুল এবং লম্ব অক্ষ উপপাদ্যের সাথে প্রয়োগ করা যেতে পারে।

মূল
ধরা যাক, কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় অক্ষগুলোর মধ্যে লম্ব দূরত্ব