Máximos, mínimos e pontos de sela

MÁXIMOS E MÍNIMOS
Encontrar os valores máximos e mínimos de funções de várias variáveis e saber onde eles ocorrem é uma aplicação importante de calculo diferencial e integral de várias variáveis. Por exemplo, qual é a maior temperatura de uma chapa de metal aquecida e onde ela está localizada?
Onde uma dada superfície atinge seu ponto mais alto sobre uma dada região no plano xy?

Uma importante aplicação do estudo de derivadas parciais, é a da otimização de funções. Otimizar uma função, significa encontrar seu desempenho máximo ou mínimo.
Como para as funções de uma variável, quando as derivadas primeiras forem nulas, teremos pontos extremos que podem ser máximos ou mínimos.

Assim, como para as funções de uma variável, os extremos (máximos e mínimos) ocorrem numa(s) destas situações (pontos críticos):
 Primeiras derivadas parciais nulas;
 Primeiras derivadas parciais não definidas

Máximo, mínimo ou ponto de sela?
A verificação se um ponto crítico é máximo ou mínimo (ou não) envolve ou estudo do valor da função e dos sinais das primeiras derivadas nas proximidades do ponto crítico ou dos sinais das segundas
derivadas no ponto.

Quando temos um caso de uma função de duas variáveis, podemos determinar as mesmas características observando o sinal do primeiro elemento da matriz Hessiana e seu determinante. Se o determinante é negativo, o ponto em questão é um ponto de sela; se o determinante é positivo, precisamos checar o sinal do primeiro elemento: sendo positivo, o ponto é de mínimo; caso contrário, é de máximo. Se o determinante for zero, não obtemos informação alguma sobre o ponto.

Um ponto de sela é o ponto sobre uma superfície no qual a declividade é nula, mas não se trata de um extremo local. É o ponto sobre uma superfície na qual a elevação é máxima numa direção e mínima noutra direção. O nome vem da semelhança com uma sela de montaria das superfícies em torno de um ponto de sela.

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