Premier volet d'une trilogie centrée principalement sur la théorie de Lie, mais au cours de laquelle on pourra voir tout un tas de choses en algèbre, en géométrie, en combinatoire et en physique. Le plan général pour cette trilogie est :
- Épisode I : Des racines et des poids (    • Théorie de Lie, Épisode I : des racin...   )
- Épisode II : La symphonie des sphères (    • Théorie de Lie, Épisode II : la symph...   )
- Épisode III : Les diagrammes enfouis (    • Théorie de Lie, Épisode III : les dia...   )

Errata:
- la formule sur les sinus donnée sur la première page est incorrecte, il faut tout décaler de 1: pour tout x tel que sin(x) est non nul et tous entiers positifs n et m on a
sin(nx)sin(mx)/sin(x) = somme des sin((n+m+1-2k)x) pour k allant de 1 à n.
Les exemples donnés dans la suite de la vidéo sont corrects.
- à 2:48:50 quand je compte la dimension je ne donne qu'une borne inférieure car je n'ai pas calculé les multiplicités. En fait les trois points du milieu ont multiplicité 2, et donc la représentation est de dimension 15, et pas 12 comme indiqué dans la vidéo.

Les notes pour cette vidéo sont accessibles ici :
http://www.antoinebourget.org/attachm...



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Je m'appelle Antoine Bourget, je suis physicien théoricien, et j'essaie de transmettre en vidéo ce que je trouve élégant en mathématiques et en physique. Pour suivre les actualités de la chaîne, et me contacter, vous pouvez rejoindre le serveur Discord ou me suivre sur les réseaux sociaux. Si vous voulez faire un don, j'ai également un compte Tipeee

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Plan
00:00 Introduction



Partie 1 : sl(2,C)
13:31 Définitions
18:50 Structures algébriques, groupes, anneaux, espaces vectoriels, algèbres
25:18 Algèbre de Lie
33:30 Définition de sl(2,C), base et relations de commutation
45:40 Exemples de représentations (polynômes homogènes, dérivations, adjointe)
1:07:15 Classification des représentations irréductibles de dimension finie
1:20:35 Diagramme des poids
1:31:50 Lemme sur les chaînes de poids
1:44:17 Conclusion, liste des représentations irréductibles
1:55:00 Produits tensoriels et caractères
2:07:40 Identités trigonométriques

Partie 2 : sl(3,C)
2:11:30 Définition et base
2:16:10 Calcul des poids de la représentation adjointe, diagramme des racines
2:24:10 Notion d'espaces propres généralisés, algèbre de Cartan et son dual
2:32:10 Diagramme des racines sur réseau triangulaire
2:41:32 Représentations de plus hauts poids
2:51:20 Exemples de représentations
3:03:40 Caractères et formule de Weyl

Conclusion
3:24:51 Résumé
3:28:00 Ouvertures sur d'autres domaines
3:40:00 Transition vers les épisodes suivants

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Référence :
Fulton et Harris, Representation Theory.